概率论与数理统计笔记


第一章:随机事件与概率重点

一、全概率公式与贝叶斯公式

1、全概率公式

一个事件$B$概率为1,被分割(使他们互不相交)成多个小块$B_{1}B_{2}B_{3}……B_{N}$(其中N≥1即可)

另外一个事件$A$的是$B$的子集,则:

$P(A)=P(AB_{1})+P(AB_{2})+……+P(AB_{N})$

放个图片↓

进一步用条件概率公式代换:

$$P(A)=P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})+……+P(B_{N})P(A|B_{N})$$

2、贝叶斯公式

在全概率公式的条件下:

$$P(B_{j}|A)=\frac{P(B_{j})P(A|B_{j})}{\sum\limits^\infty\limits_{i=1}P(B_{i})P(A|B_{i})}$$

其实就是

$$P(B_{j}|A)=\frac{P(AB_{j})}{\sum\limits^\infty\limits_{i=1}P(AB_{i})}=\frac{P(AB_{j})}{P(A)}$$

给他用条件概率公式和全概率公式代换了一下

P(A)就是红圈圈里的那一块

$p(B_{i})$称为先验概率,事先就知道的

第二章:一维变量随机分布

一、离散型分布

1、二项分布

公式:

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$
$\qquad k=0,1,2…,n$

独立重复实验服从伯努利二项分布

X服从二项分布,记:

$X$~$B(n,p)$

$P(x=k)=b(k;n,p)$

定理:当$(n+1)p$为整数,$X=(n+1)p$或$(n+1)p-1$时概率最大

定理:当$(n+1)p$不为整数,$X=\lfloor (n+1)p \rfloor$时概率最大

关于$\lfloor x \rfloor$

即对x向下取整,直接舍弃小数部分

2、泊松分布

公式:

$\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$
$\qquad k=0,1,2…,n$


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